Para introducirse en el tema de cónicas.
PARTE 1
PARTE 2
domingo, 29 de mayo de 2011
ELIPSE
ELIPSE COMO LUGAR GEOMÉTRICO
Desliza el punto P y observa.
¿Qué tipo de curva describe la traza de P?
¿Qué representan los segmentos verde y lila?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
Define la elipse como lugar geométrico.
Lectura recomendada:
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA, W. Fernández Val y J. Corradina Castro.
Capítulo 6 - Páginas 148 y 149
Hay ejemplares de este libro en la biblioteca del liceo.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
¿Cuál es la ecuación de la elipse de la figura?
Sustituyendo en ella la x y la y por las coordenadas de Q, ¿qué ocurre?
Desplaza el punto Q y observa los cambios.
Desliza el punto P y observa qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la elipse.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A, A', B y B' y de los focos F y F' de la elipse?
¿Cuánto miden los semiejes a=OA y b=OB y la semidistancia focal c=OF? ¿Qué relación hay entre estas tres medidas?
Mueve los puntos A y B y observa los cambios. ¿Cuál es la ecuación de la elipse de semiejes a y b?
¿Qué ocurre si b>a? ¿Y si b=a?
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
1) Mueve los puntos O, A y B hasta visualizar la elipse de ecuación:
Utiliza si es necesario las herramientas para desplazar la figura que aparecen en la parte superior de la escena.
2) Visualiza ahora la elipse de ecuación:
Recuerda el concepto de ECUACIONES EQUIVALENTES para hacerlo.
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
Desliza el punto P y observa.
¿Qué tipo de curva describe la traza de P?
¿Qué representan los segmentos verde y lila?
¿Qué propiedad cumplen todos los puntos por los que pasa P?
Define la elipse como lugar geométrico.
Lectura recomendada:
GEOMETRÍA ANALÍTICA Y ÁLGEBRA, W. Fernández Val y J. Corradina Castro.
Capítulo 6 - Páginas 148 y 149
Hay ejemplares de este libro en la biblioteca del liceo.
ECUACIÓN DE LA ELIPSE.
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
¿Cuál es la ecuación de la elipse de la figura?
Sustituyendo en ella la x y la y por las coordenadas de Q, ¿qué ocurre?
Desplaza el punto Q y observa los cambios.
Desliza el punto P y observa qué ocurre al sustituir sus coordenadas en la ecuación de la elipse.
¿Cuáles son las coordenadas de los vértices A, A', B y B' y de los focos F y F' de la elipse?
¿Cuánto miden los semiejes a=OA y b=OB y la semidistancia focal c=OF? ¿Qué relación hay entre estas tres medidas?
Mueve los puntos A y B y observa los cambios. ¿Cuál es la ecuación de la elipse de semiejes a y b?
¿Qué ocurre si b>a? ¿Y si b=a?
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
1) Mueve los puntos O, A y B hasta visualizar la elipse de ecuación:
2) Visualiza ahora la elipse de ecuación:
miércoles, 25 de mayo de 2011
miércoles, 18 de mayo de 2011
RECTA TANGENTE A UNA CIRCUNFERENCIA (1)
El problema propuesto es el siguiente:
La estrategia sugerida por un compañero es la siguiente:
Si consideramos un haz de rectas de centro en el punto P y "cortamos" dicho haz con la circunferencia vamos a poder determinar los puntos de intersección de las rectas del haz con la circunferencia. Mediante el estudio del DISCRIMINANTE podemos elegir "m" de tal manera que se corten en un único punto, con lo que obtendríamos las rectas tangentes a la circunferencia.
Para entender mejor la idea, fijense en la escena que sigue. En ella se representa la circunferencia, el punto P y para representar las rectas del haz se usa un deslizador que toma los valores de "m".
Muevan el deslizador para ver algunas de las rectas del haz.
Moviendo el deslizador elijan rectas que sean tangentes a la circunferencia.
Al resolver de forma gráfica el problema surge una pregunta, ¿son exactamente esas las soluciones? ¿Están seguros? ¿Cómo lo podrían demostrar?
Espero sus aportes, preguntas y comentarios en clase. Nos vemos!
La estrategia sugerida por un compañero es la siguiente:
Si consideramos un haz de rectas de centro en el punto P y "cortamos" dicho haz con la circunferencia vamos a poder determinar los puntos de intersección de las rectas del haz con la circunferencia. Mediante el estudio del DISCRIMINANTE podemos elegir "m" de tal manera que se corten en un único punto, con lo que obtendríamos las rectas tangentes a la circunferencia.
Para entender mejor la idea, fijense en la escena que sigue. En ella se representa la circunferencia, el punto P y para representar las rectas del haz se usa un deslizador que toma los valores de "m".
Muevan el deslizador para ver algunas de las rectas del haz.
Moviendo el deslizador elijan rectas que sean tangentes a la circunferencia.
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
Al resolver de forma gráfica el problema surge una pregunta, ¿son exactamente esas las soluciones? ¿Están seguros? ¿Cómo lo podrían demostrar?
Espero sus aportes, preguntas y comentarios en clase. Nos vemos!
sábado, 14 de mayo de 2011
Límite de una función real en un punto.
En la escena de abajo mueve el punto A y observa los valores que toma su imagen.
Toma el valor A=(-1) y observa, ¿por qué desaparece el punto A?
¿Cuál es el dominio de la función?
Toma valores de A "cercanos" a (-1) y deduce el límite de la función cuándo A "se acerca" a (-1).
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
SELECCIÓN DE EJERCICIOS
Pueden descargar el repartido de acá o comprar una fotocopia en la cantina del liceo.
En los ejercicios del 1 al 7 puedes hacer las gráficas usando Geogebra y verificar tus conclusiones.
En todos los casos debes tener presente cuál es el dominio de la función.
Repartido inicio límites
UN POCO DE HISTORIA
"Ahora bien, el trabajo realmente relevante para la comunidad matemática de la época fue dado por el matemático francés Augustin Cauchy (1789 - 1857), quien se suele comparar a Euler en su prolífica producción matemática. Su obra en torno a esta fundamentación se sintetizó en tres trabajos: Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1821), Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1 823), y Leçons sur le calcul différentiel (1829).
El objetivo de este matemático era establecer una separación de la idea de límite y con relación a su origen geométrico, físico o intuitivo. En esa dirección, se concentró en tres nociones: variable, función y límite. Por ejemplo, en su trabajo trató de dar cuenta de la naturaleza de los números irracionales, ofreciendo la idea de que un número irracional era simplemente el límite de varias fracciones racionales que se le acercaban. Se dio cuenta, sin embargo, tiempo después, que la definición debía ser más precisa desde un punto de vista lógico puesto que, en esa definición, asumía la existencia de los irracionales previamente a su construcción por medio de límites."
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MATERIAL DE TEÓRICO
Para apoyar el trabajo en clase es recomendable esta lectura.
Toma el valor A=(-1) y observa, ¿por qué desaparece el punto A?
¿Cuál es el dominio de la función?
Toma valores de A "cercanos" a (-1) y deduce el límite de la función cuándo A "se acerca" a (-1).
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
SELECCIÓN DE EJERCICIOS
Pueden descargar el repartido de acá o comprar una fotocopia en la cantina del liceo.
En los ejercicios del 1 al 7 puedes hacer las gráficas usando Geogebra y verificar tus conclusiones.
En todos los casos debes tener presente cuál es el dominio de la función.
Repartido inicio límites
UN POCO DE HISTORIA
"Ahora bien, el trabajo realmente relevante para la comunidad matemática de la época fue dado por el matemático francés Augustin Cauchy (1789 - 1857), quien se suele comparar a Euler en su prolífica producción matemática. Su obra en torno a esta fundamentación se sintetizó en tres trabajos: Cours d'analyse de l'École Polytechnique (1821), Résumé des leçons sur le calcul infinitesimal (1 823), y Leçons sur le calcul différentiel (1829).
El objetivo de este matemático era establecer una separación de la idea de límite y con relación a su origen geométrico, físico o intuitivo. En esa dirección, se concentró en tres nociones: variable, función y límite. Por ejemplo, en su trabajo trató de dar cuenta de la naturaleza de los números irracionales, ofreciendo la idea de que un número irracional era simplemente el límite de varias fracciones racionales que se le acercaban. Se dio cuenta, sin embargo, tiempo después, que la definición debía ser más precisa desde un punto de vista lógico puesto que, en esa definición, asumía la existencia de los irracionales previamente a su construcción por medio de límites."
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MATERIAL DE TEÓRICO
Para apoyar el trabajo en clase es recomendable esta lectura.
miércoles, 11 de mayo de 2011
viernes, 6 de mayo de 2011
Proyección de un punto.
SISTEMAS DE PROYECCIÓN
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados:
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en si.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica,cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección.
PROYECCIÓN EN EL PRIMER TRIEDRO.
Para ampliar tus conocimientos sobre sistemas de proyección, te recomiendo este enlace.
PROYECCIONES DE UN PUNTO (Por diedro)
Modifica la cota y/o el alejamiento para obtener las tres proyecciones del punto.
Un sistema de proyección es un sistema por medio del cual puede ser definida la proyección de un objeto sobre una superficie. En todo sistema de proyección intervienen cuatro elementos denominados:
a) Objeto. Es el objeto que se desea representar. Puede ser un punto, recta, plano, superficie, sólido, etc; en fin cualquier elemento geométrico ú objeto en si.
b) Punto de observación. Punto desde el cual se observa el objeto que se quiere representar. Es un punto cualquiera del espacio.
c) Superficie de proyección. Es la superficie sobre la cual se proyectará el objeto. Generalmente es un plano; aunque también puede ser una superficie esférica,cilíndrica, cónica, etc.
d) Proyectantes. Son rectas imaginarias que unen los puntos del objeto con el punto de observación. La proyección (P') de cualquier punto (P) del objeto se obtiene interceptando su proyectante con el plano de proyección.
PROYECCIÓN EN EL PRIMER TRIEDRO.
Para ampliar tus conocimientos sobre sistemas de proyección, te recomiendo este enlace.
PROYECCIONES DE UN PUNTO (Por diedro)
Modifica la cota y/o el alejamiento para obtener las tres proyecciones del punto.
Prof. Fabián Colombo, Creación realizada con GeoGebra
miércoles, 4 de mayo de 2011
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