lunes, 12 de septiembre de 2011

Optimización 1

En los ejercicios que siguen, tienes que determinar las coordenadas del punto de la gráfica de la función que está a menor distancia del punto dado en cada caso.



La escena siguiente se corresponde con el primer ejercicio.

- Mueve el punto P.

- Observa cómo varía la longitud del segmento PA.

- ¿Dónde ubicarías al punto P para que la longitud de PA sea mínima? ¿Cuánto mide el segmento?


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Licencia Creative Commons

Prof. Fabián Colombo, Creado con GeoGebra


Usando lo que sabemos de geometría analítica, podemos expresar la distancia entre el punto P y el punto A mediante una relación entre sus coordenadas.
En la escena anterior selecciona la casilla que dice "función distancia" para ver su grafica.

- ¿Cual es el dominio de la función d(x)?

Si le cambiamos un poco el aspecto, factorizando el radicando, obtenemos la siguiente función compuesta:

viernes, 2 de septiembre de 2011

Verdadera magnitud de un segmento

Ya vimos que un segmento se ve en verdadera magnitud en un plano si es paralelo a él. Es decir que si el segmento es paralelo al plano horizontal, la longitud de su proyección horizontal es igual a la medida de la longitud del segmento.

Observa cómo hacer cuando esto no ocurre.
En la escena de abajo se muestra, en el depurado, el procedimiento para determinar la verdadera magnitud de un segmento que no es paralelo a ninguno de los planos de proyección.


Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com

Licencia Creative Commons

Prof. Fabián Colombo, Creado con GeoGebra

jueves, 1 de septiembre de 2011

Familia de rectas

Analíticamente podemos establecer que una familia de rectas es un conjunto de rectas que responden a una misma ecuación, dependiente de un parámetro, con al menos x o y de primer grado (como máximo).

Haces de rectas propios e impropios
Cuando todas las rectas de la familia pasan por un punto fijo, entonces decimos que la familia es un haz de rectas con un punto propio. Los casos más frecuentes que se pueden presentar en este curso, son cuando el parámetro se encuentra de primer o de segundo grado en la ecuación del haz.

El hecho de que exista un punto que pertenece a todas las rectas del haz implica que las coordenadas de dicho punto no pueden depender del parámetro. Hablando en términos algebraicos, esto significa que la ecuación del haz tiene una raíz independiente del parámetro.

¿Cómo determinar las raíces independientes de un parámetro en una ecuación?
Para fijar ideas y sin perder generalidad, lo veremos a través del siguiente ejemplo.
-Lo primero es ordenar la ecuación en función del parámetro.


La única forma de que esta igualdad sea verdadera sin importar cual sea el valor del parámetro, es que los coeficientes sean todos iguales a cero. Es decir; el polinomio nulo.
Debemos, entonces, plantearnos las siguientes ecuaciones simultáneas:
Que, en el caso que sea compatible determinado, como en este ejemplo, obtendremos las coordenadas del punto propio.
En la escena de abajo se puede observar una representación del conjunto de rectas de la familia. 

Este es un Applet de Java creado con GeoGebra desde www.geogebra.org – Java no parece estar instalado Java en el equipo. Se aconseja dirigirse a www.java.com
Licencia Creative Commons Prof. Fabián Colombo, Creado con GeoGebra

¿Has notado que no completan el plano?

¿Cuáles son las ecuaciones de las rectas "extremos" (que aparecen punteadas en la figura)?

¿Cómo describes la variación de los coeficientes angulares de las rectas de la familia?

Para responder a estas preguntas es necesario estudiar cómo varía el coeficiente angular de las rectas de la familia. Al parecer tiene un recorrido restringido.
Para obtener una expresión algebraica del coeficiente angular es conveniente ordenar la ecuación nuevamente. Pero esta vez escribiéndola en la forma pendiente-ordenada en el origen.
Esto es:
De esta manera obtenemos una expresión para el coeficiente angular en función de lambda que es:
En la escena de arriba puedes ver la representación gráfica de esta función si seleccionas la casilla de control que se llama "coeficiente angular".

Observa que la función presenta un mínimo en (-2) y un máximo en (+2).
Este hecho se demuestra estudiando el signo de la derivada primera de la función, que es: