Analíticamente podemos establecer que una familia de rectas es un conjunto de rectas que responden a una misma ecuación, dependiente de un parámetro, con al menos
x o
y de primer grado (como máximo).
Haces de rectas propios e impropios
Cuando todas las rectas de la familia pasan por un punto fijo, entonces decimos que la familia es un
haz de rectas con un punto propio. Los casos más frecuentes que se pueden presentar en este curso, son cuando el parámetro se encuentra de primer o de segundo grado en la ecuación del haz.
El hecho de que exista un punto que pertenece a todas las rectas del haz implica que las coordenadas de dicho punto no pueden depender del parámetro. Hablando en términos algebraicos, esto significa que la ecuación del haz tiene una raíz independiente del parámetro.
¿Cómo determinar las raíces independientes de un parámetro en una ecuación?
Para fijar ideas y sin perder generalidad, lo veremos a través del siguiente ejemplo.
-Lo primero es ordenar la ecuación en función del parámetro.
La única forma de que esta igualdad sea verdadera sin importar cual sea el valor del parámetro, es que los coeficientes sean todos iguales a cero. Es decir; el polinomio nulo.
Debemos, entonces, plantearnos las siguientes ecuaciones simultáneas:
Que, en el caso que sea compatible determinado, como en este ejemplo, obtendremos las coordenadas del punto propio.
En la escena de abajo se puede observar una representación del conjunto de rectas de la familia.
Prof. Fabián Colombo, Creado con GeoGebra
¿Has notado que no completan el plano?
¿Cuáles son las ecuaciones de las rectas "extremos" (que aparecen punteadas en la figura)?
¿Cómo describes la variación de los coeficientes angulares de las rectas de la familia?
Para responder a estas preguntas es necesario estudiar
cómo varía el coeficiente angular de las rectas de la familia. Al parecer tiene un
recorrido restringido.
Para obtener una expresión algebraica del coeficiente angular es conveniente ordenar la ecuación nuevamente. Pero esta vez escribiéndola en la forma
pendiente-ordenada en el origen.
Esto es:
De esta manera obtenemos una expresión para el coeficiente angular en función de lambda que es:
En la escena de arriba puedes ver la representación gráfica de esta función si seleccionas la casilla de control que se llama "
coeficiente angular".
Observa que la función presenta un mínimo en (-2) y un máximo en (+2).
Este hecho se demuestra estudiando el signo de la derivada primera de la función, que es:
